23.12 RLC シリーズ AC 回路 - 大学物理学 2e | OpenStax (2023)

学習目標

このセクションを終えると、次のことができるようになります。

• RLC 直列回路のインピーダンス、位相角、共振周波数、電力、力率、電圧、電流を計算します。
• RLC直列回路の回路図を描きます。
• 共振周波数の重要性を説明します。

インピーダンス

AC 回路内で単独で使用すると、インダクタ、コンデンサ、抵抗はすべて電流を妨げます。 3 つすべてが同時に発生した場合、それらはどのように動作しますか?興味深いことに、オーム単位での個々の抵抗は単純に加算されるわけではありません。インダクタとコンデンサは逆の動作をするため、部分的には互いの効果を完全に打ち消し合います。図23.46を示していますRLCAC 電圧源との直列回路。その動作がこのセクションの主題です。分析の核心RLC回路は次の周波数依存性です。${\mathrm{バツ}}_L$と${\mathrm{バツ}}_C$、およびそれらが電圧対電流の位相に与える影響 (前のセクションで確立)。これらにより、回路の周波数依存性が生じ、ラジオ チューナーなどの多くのアプリケーションの基礎となる重要な「共振」機能が生じます。

形23.46 アンRLCAC電圧源との直列回路。

抵抗の複合効果$R$、誘導リアクタンス${\mathrm{バツ}}_L$、容量性リアクタンス${\mathrm{バツ}}_C$と定義されていますインピーダンス、DC 回路の抵抗に相当する AC です。電流、電圧、インピーダンスRLC回路はオームの法則の AC バージョンによって関連付けられます。

ここ${私}_0$はピーク電流、$V_0$ピーク電源電圧、および$Z$は回路のインピーダンスです。インピーダンスの単位はオームで、回路に対するその影響はご想像のとおり、インピーダンスが大きいほど電流は小さくなります。式を取得するには$Z$の面では$R$、${\mathrm{バツ}}_L$、 と${\mathrm{バツ}}_C$, 次に、さまざまなコンポーネントの電圧が電源電圧とどのように関係しているかを調べます。それらの電圧にはラベルが付けられています$V_R$、$V_L$、 と$V_C$の図23.46。

電荷の保存には、回路の各部分の電流が常に同じであることが必要です。つまり、$R$、$L$、 と$C$は等しく同位相です。しかし、前のセクションから、インダクタの両端の電圧が$V_L$電流が 1 サイクルの 1/4 進み、コンデンサの両端の電圧が$V_C$電流をサイクルの 4 分の 1 追跡し、抵抗の両端の電圧を追跡します。$V_R$電流と正確に同相です。図23.47これらの関係を 1 つのグラフに示し、回路周囲の総電圧も示します。$V=V_R+V_L+V_C$ここで、4 つの電圧はすべて瞬時値です。キルヒホッフのループ則によれば、回路周囲の総電圧は$V$電源の電圧でもあります。

から見ることができます図23.47その間に$V_R$電流と同位相であり、$V_L$によって導かれる$\text{90度}$、 と$V_C$続いて$\text{90度}$。したがって$V_L$と$V_C$それは$\text{180度}$位相がずれ（山から谷まで）、相殺される傾向がありますが、同じ大きさでない限り完全には相殺されません。ピーク電圧が揃っていない（同相ではない）ため、ピーク電圧は$V_0$ソースのいいえ両端のピーク電圧の合計に等しい$R$、$L$、 と$C$。実際の関係は、

どこ$V_{0R}$、$V_{0L}$、 と$V_{0C}$両端のピーク電圧です$R$、$L$、 と$C$、 それぞれ。ここで、オームの法則と定義を使用して、リアクタンス、誘導性、容量性、私たちは置き換えます$V_0={私}_{0}Z$上記に加えて、$V_{0R}={私}_{0}R$、$V_{0L}={私}_0{\mathrm{バツ}}_L$、 と$V_{0C}={私}_0{\mathrm{バツ}}_C$、降伏

${私}_0$キャンセルして式を生成します$Z$:

これはのインピーダンスですRLC直列交流回路。抵抗のない回路の場合は、$R=\text{0}$;インダクタがない場合は、${\mathrm{バツ}}_L=0$;コンデンサがない場合は、${\mathrm{バツ}}_C=0$。

形23.47 このグラフは、電圧の関係を示しています。RLC電流への回路。回路要素間の電圧を加算すると電源の電圧と等しくなり、電流と位相がずれていることがわかります。

共鳴RLC直列交流回路

どのようにしてRLC回路は駆動電圧源の周波数の関数として動作しますか?オームの法則を組み合わせると、${私}_{\text{実効値}}=V_{\text{実効値}}/Z$、およびインピーダンスの式$Z$から$Z=\sqrt{R^2+({\mathrm{バツ}}_L-{\mathrm{バツ}}_C{)}^2}$与える

リアクタンスは周波数によって変化します。${\mathrm{バツ}}_L$高周波では大きくなり、${\mathrm{バツ}}_C$前の 3 つの例で見たように、低周波数では大きくなります。ある中間周波数で$f_0$、リアクタンスは等しく、相殺され、次のようになります。$Z=R$-これはインピーダンスの最小値と最大値です。${私}_{\text{実効値}}$結果。次の式を得ることができます$f_0$取ることによって

の定義を代入すると、${\mathrm{バツ}}_L$と${\mathrm{バツ}}_C$、

この式を解くと、$f_0$収量

どこ$f_0$それは共鳴周波数のRLC直列回路。これもまた、固有振動数この値では、電圧源で駆動しないと回路が発振します。で$f_0$、インダクタとコンデンサの効果が相殺されるため、$Z=R$、 と${私}_{\text{実効値}}$は最大値です。

AC 回路の共振は機械的共振に似ており、共振はシステムの固有周波数での強制振動 (この場合は電圧源による強制振動) として定義されます。ラジオの受信機は、RLC最もよく発振する回路$f_0$。調整にはバリコンがよく使われます。$f_0$希望の周波数を受信し、他の周波数を拒否します。図23.48は、周波数の関数としての電流のグラフであり、周波数の共振ピークを示しています。${私}_{\text{実効値}}$で$f_0$。 2 つの曲線は 2 つの異なる回路のものであり、回路内の抵抗の量のみが異なります。抵抗が高い回路では、ピークが低くなり、幅が広くなります。したがって、抵抗が高い回路はそれほど強く共振せず、たとえばラジオ受信機ではそれほど選択的ではありません。

形23.48 2 つの電流と周波数のグラフRLC抵抗の大きさだけが異なる直列回路。両方とも共鳴します$f_0$、しかし、より高い抵抗の場合はより低く、より広くなります。駆動用AC電圧源の振幅は固定です。$V_0$。

電源投入RLC直列交流回路

電流が周波数とともに変化する場合、RLC回路に供給される電力も周波数によって変化します。しかし、純粋な抵抗回路の場合のように、平均電力は単純に電流と電圧の積ではありません。で見られたように図23.47、電圧と電流は位相がずれています。RLC回路。があります位相角 $\varphi$電源電圧間$V$そして現在$私$から見つけることができます

たとえば、共振周波数または純粋な抵抗回路内で$Z=R$、 となることによって$\text{コス}\varphi =1$。これは次のことを意味します$\varphi =0°$そして、抵抗器で予想されるように、電圧と電流が同相であること。他の周波数では、平均パワーは共振時よりも小さくなります。これは、電圧と電流の位相がずれていることと、${私}_{\text{実効値}}$は低いです。電源の電圧と電流の位相が異なるという事実は、回路に供給される電力に影響を与えます。ということを示すことができます。平均パワーは

したがって$\text{コス}\varphi$と呼ばれています力率値の範囲は 0 ～ 1 です。たとえば、効率的なモーターを設計する場合は、力率が 1 に近いことが望ましいです。共振周波数では、$\text{コス}\varphi =1$。

に供給される電力RLC直列交流回路では抵抗のみで消費されます。インダクタとコンデンサにはエネルギーの入力と出力がありますが、回路の外にエネルギーを放散しません。むしろ、電圧源が回路に投入したものを正確に抵抗器が消費することで、エネルギーを相互にやり取りします。これは、インダクタとコンデンサから電波などの重大な電磁放射がないことを前提としています。電磁放射に関する次の章で説明するように、このような放射は発生する可能性があり、望まれる場合もありますが、この章の場合のように抑制することもできます。この回路は、図に示すように波形の道路を走行する車の車輪に似ています。図23.49。道路上の規則的な間隔の凹凸は、車輪を上下に駆動する電圧源に似ています。ショックアブソーバーは、振動の振幅を減衰させて制限する抵抗に似ています。システム内のエネルギーは、運動エネルギー (最大電流に相当し、インダクターに蓄えられるエネルギー) と車のばねに蓄えられる位置エネルギー (電流がないことに相当し、コンデンサの電界に蓄えられるエネルギー) の間を行き来します。道路の凹凸が共振周波数で衝突した場合、車輪の動きの振幅は最大になります。

形23.49 車のスプリング上のホイールの強制的だが減衰した動きは、RLC直列交流回路。ショックアブソーバーは動きを減衰させ、エネルギーを放散します。これは、自動車の抵抗に似ています。RLC回路。質量とバネによって共振周波数が決まります。

純粋なLC抵抗が無視できる回路は次のように発振します。$f_0$、と同じ共振周波数。RLC回路。たとえば、デジタル腕時計の周波数標準またはクロック回路として機能します。抵抗が非常に小さいため、発振を維持するために必要なエネルギー入力は非常にわずかです。この回路はショックアブソーバーのない自動車に似ています。一度振動し始めると、しばらくその固有振動数で振動が続きます。図23.50間の類似性を示しますLC回路とバネ上の質量。

形23.50 アンLCこの回路は、摩擦も駆動力もないばね上で振動する質量に似ています。エネルギーは、質量バネシステム内で運動から電位に移動するのと同じように、インダクタとコンデンサの間を行き来します。