3 直線に沿った動き
学習目標
このセクションを終えると、次のことができるようになります。
- 積分計算を使用して、一定の加速度の運動学方程式を導出します。
- 運動の解析には運動方程式の積分定式化を使用します。
- 加速度関数が与えられた場合の、速度対時間の関数形式を求めます。
- 速度関数が与えられた場合に、位置と時間の関数形式を求めます。
このセクションでは、微積分の知識があり、積分に精通していることを前提としています。の瞬間速度と速度と平均加速度と瞬間加速度導関数を使用して速度と加速度の運動学的関数を導入しました。位置関数の微分を取ることによって速度関数を見つけ、同様に速度関数の微分を取ることによって加速度関数を見つけました。積分計算を使用すると、逆算して加速度関数から速度関数を計算し、速度関数から位置関数を計算できます。
積分微積分からの運動方程式
加速度のある粒子から始めましょうある(t) は既知の時間の関数です。速度関数の時間微分は加速度なので、
[ラテックス]\frac{d}{dt}v(t)=a(t),[/ラテックス]
両辺の不定積分を求めることができます。
[ラテックス]\int \frac{d}{dt}v(t)dt=\int a(t)dt+{C}_{1},[/ラテックス]
どこC1は積分定数です。 [latex]\int \frac{d}{dt}v(t)dt=v(t)[/latex] なので、速度は次のように求められます。
[latex]v(t)=\int a(t)dt+{C}_{1}.[/latex]
同様に、位置関数の時間導関数は速度関数です。
[ラテックス]\frac{d}{dt}x(t)=v(t).[/ラテックス]
したがって、先ほど使用したのと同じ数学的操作を使用して、次のことを見つけることができます。
[ラテックス]x(t)=\int v(t)dt+{C}_{2},[/ラテックス]
どこC2は積分の 2 番目の定数です。
これらの積分を使用して、一定の加速度の運動方程式を導き出すことができます。とある(t) =ある定数で積分を行っています形、 我々は気づく
[latex]v(t)=\int adt+{C}_{1}=at+{C}_{1}.[/latex]
初速度がv(0) =v0、 それから
[ラテックス]{v}_{0}=0+{C}_{1}.[/ラテックス]
それから、C1=v0と
[ラテックス]v(t)={v}_{0}+at,[/ラテックス]
それは(方程式)。この式を代入すると、形与える
[latex]x(t)=\int ({v}_{0}+at)dt+{C}_{2}.[/latex]
積分を実行すると、次のことがわかります。
[latex]x(t)={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}+{C}_{2}.[/latex]
もしもバツ(0) =バツ0、 我々は持っています
[ラテックス]{x}_{0}=0+0+{C}_{2};[/ラテックス]
それで、C2=バツ0。の方程式に再度代入すると、バツ(t）、ついに
[ラテックス]x(t)={x}_{0}+{v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2},[/latex]
それは(方程式)。
例
モーターボートの動き
モーターボートは 5.0 m/s の一定速度で走行しており、ドックに到着するために減速し始めます。その加速度は [latex]a(t)=-\frac{1}{4}t\,\text{m/}{\text{s}}^{2}[/latex] です。 (a) モーターボートの速度関数は何ですか? (b) 速度がゼロになるのは何時ですか? (c) モーターボートの位置関数は何ですか? (d) モーターボートが減速し始めてから速度がゼロになるまでの変位はいくらですか? (e) 速度関数と位置関数をグラフ化します。
ストラテジー
(a) 速度関数を取得するには、積分し、初期条件を使用して積分定数を見つける必要があります。 (b) 速度関数をゼロに設定し、次のように解きます。t。 (c) 同様に、位置関数を見つけるために積分し、積分定数を見つけるために初期条件を使用する必要があります。 (d) 初期位置はゼロであるとみなされるため、[latex]t=0[/latex] で位置関数を評価するだけで済みます。
解決
私たちは取るt= 0 はボートが減速し始める時刻です。
答えを表示
加速度の関数形式から解くことができます形取得するためv(t):
[latex]v(t)=\int a(t)dt+{C}_{1}=\int -\frac{1}{4}tdt+{C}_{1}=-\frac{1}{ 8}{t}^{2}+{C}_{1}.[/latex]
t = 0 では、v(0) = 5.0 m/s = 0 + C1 となるため、C1 = 5.0 m/s または [latex]v(t)=5.0\,\text{m/}\text{s} -\frac{1}{8}{t}^{2}[/ラテックス]。
答えを表示
[latex]v(t)=0=5.0\,\text{m/}\text{s}-\frac{1}{8}{t}^{2}\Rightarrow t=6.3\,\text{ s}[/ラテックス]
(Video) 電磁気学Ⅱ第2回講義答えを表示
解決形:
[ラテックス]x(t)=\int v(t)dt+{C}_{2}=\int (5.0-\frac{1}{8}{t}^{2})dt+{C}_{ 2}=5.0t-\frac{1}{24}{t}^{3}+{C}_{2}.[/latex]
t = 0 では、ボートが減速し始めた時点からの変位のみに関心があるため、x(0) = 0 = x0 と設定します。我々は持っています
[ラテックス]x(0)=0={C}_{2}.[/ラテックス]
したがって、位置の方程式は次のようになります。
[ラテックス]x(t)=5.0t-\frac{1}{24}{t}^{3}.[/ラテックス]
答えを表示
初期位置はゼロであるとみなされるため、速度がゼロの場合に x(t) を評価するだけで済みます。これは t = 6.3 秒で発生します。したがって、変位は
[ラテックス]x(6.3)=5.0(6.3)-\frac{1}{24}{(6.3)}^{3}=21.1\,\text{m}\text{.}[/latex]
意義
加速関数は時間に対して線形であるため、積分には単純な多項式が含まれます。の形、速度がゼロの点を超えて解を拡張すると、速度が負になり、ボートの方向が反転することがわかります。これは、ソリューションによって直接の関心以外の情報が得られる可能性があり、それを解釈する際には注意が必要であることがわかります。
理解を確認してください
粒子は静止状態から始まり、加速関数 [latex]5-10t{\text{m/s}}^{2}[/latex] を持ちます。 (a) 速度関数とは何ですか? (b) 位置関数とは何ですか? (c) 速度がゼロになるのはいつですか?
解決策を表示する
- 速度関数は、加速度関数の積分に積分定数を加えたものです。に形、
[ラテックス]v(t)=\int a(t)dt+{C}_{1}=\int (5-10t)dt+{C}_{1}=5t-5{t}^{2}+ {C}_{1}.[/ラテックス]
以来v(0) = 0、C1= 0;それで、
[ラテックス]v(t)=5t-5{t}^{2}.[/ラテックス] - に形、
[ラテックス]x(t)=\int v(t)dt+{C}_{2}=\int (5t-5{t}^{2})dt+{C}_{2}=\frac{5 }{2}{t}^{2}-\frac{5}{3}{t}^{3}+{C}_{2}[/latex]。
以来バツ(0) = 0、C2= 0、および
[ラテックス]x(t)=\frac{5}{2}{t}^{2}-\frac{5}{3}{t}^{3}.[/ラテックス] - 速度は次のように書くことができますv(t) = 5t(1 –t)、これはゼロに等しくなります。t= 0、およびt= 1秒。
まとめ
- 積分計算により、運動学のより完全な定式化が可能になります。
- 加速の場合ある(t) が知られているので、積分計算を使用して速度の式を導き出すことができます。v(t）と位置バツ(t）。
- 加速度が一定の場合、積分方程式は次のようになります。形と形一定加速度の運動の場合。
重要な方程式
| 変位 | [ラテックス]\デルタ x={x}_{\text{f}}-{x}_{\text{i}}[/latex] |
| 総変位量 | [latex]\Delta {x}_{\text{Total}}=\sum \Delta {x}_{\text{i}}[/latex] |
| 平均速度 | [ラテックス]\overset{\text{–}}{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{ t}_{2}-{t}_{1}}[/ラテックス] |
| 瞬間速度 | [ラテックス]v(t)=\frac{dx(t)}{dt}[/ラテックス] |
| 平均速度 | [latex]\text{平均速度}=\overset{\text{–}}{s}=\frac{\text{総距離}}{\text{経過時間}}[/latex] |
| 瞬間速度 | [latex]\text{瞬間速度}=|v(t)|[/latex] |
| 平均加速度 | [ラテックス]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{{v}_{f}-{v}_{0}}{{ t}_{f}-{t}_{0}}[/ラテックス] |
| 瞬間加速度 | [ラテックス]a(t)=\frac{dv(t)}{dt}[/ラテックス] |
| 平均速度からの位置 | [ラテックス]x={x}_{0}+\overset{\text{–}}{v}t[/latex] |
| 平均速度 | [ラテックス]\overset{\text{–}}{v}=\frac{{v}_{0}+v}{2}[/latex] |
| 加速度からの速度 | [latex]v={v}_{0}+at\enspace(\text{constant}\,a\text{)}[/latex] |
| 速度と加速度からの位置 | [latex]x={x}_{0}+{v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}\enspace(\text{constant}\,a\text {）}[/ラテックス] |
| 距離からの速度 | [ラテックス]{v}^{2}={v}_{0}^{2}+2a(x-{x}_{0})\enspace(\text{constant}\,a\text{) }[/ラテックス] |
| 自由落下の速度 | [latex]v={v}_{0}-gt\,\text{(上向きの正)}[/latex] |
| 自由落下の高さ | [ラテックス]y={y}_{0}+{v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}[/ラテックス] |
| 高所からの自由落下の速度 | [ラテックス]{v}^{2}={v}_{0}^{2}-2g(y-{y}_{0})[/ラテックス] |
| 加速度からの速度 | [ラテックス]v(t)=\int a(t)dt+{C}_{1}[/ラテックス] |
| 速度からの位置 | [ラテックス]x(t)=\int v(t)dt+{C}_{2}[/ラテックス] |
概念的な質問
加速度関数が与えられた場合、速度関数と位置関数を見つけるにはどのような追加情報が必要ですか?
問題点
粒子の加速度は、方程式 [latex]a(t)=p{t}^{2}-q{t}^{3}[/latex] に従って時間とともに変化します。最初は、速度と位置はゼロです。 (a) 時間の関数としての速度は何ですか? (b) 時間の関数としての位置はどうなりますか?
間t= 0 およびt=t0、ロケットは [latex]a(t)=A-B{t}^{1\,\text{/}2}[/latex] で与えられる加速度で真っ直ぐ上向きに移動します。あとBは定数です。 (a) もしバツ単位はメートルで、t秒単位ですが、単位は何ですかあとB? (b) ロケットが静止状態から始動した場合、速度は次の期間と次の期間でどのように変化しますか。t= 0 およびt=t0? (c) 初期位置がゼロの場合、同じ時間間隔における時間の関数としてのロケットの位置は何ですか?
解決策を表示する
ａ． [latex]A={\text{m/s}}^{2}\enspace B={\text{m/s}}^{5\,\text{/}2}[/latex];
b. [latex]\begin{array}{cc} v(t)=\int a(t)dt+{C}_{1}=\int (A-B{t}^{1\,\text{/}2} )dt+{C}_{1}=At-\frac{2}{3}B{t}^{3\,\text{/}2}+{C}_{1}\hfill \\ v( 0)=0={C}_{1}\enspace\text{so}\enspace v({t}_{0})=A{t}_{0}-\frac{2}{3}B {t}_{0}^{\text{3/2}}\hfill \end{array}[/latex];
c. [latex]\begin{array}{cc} x(t)=\int v(t)dt+{C}_{2}=\int (At-\frac{2}{3}B{t}^{ 3\,\text{/}2})dt+{C}_{2}=\frac{1}{2}A{t}^{2}-\frac{4}{15}B{t}^ {5\,\text{/}2}+{C}_{2}\hfill \\ x(0)=0={C}_{2}\enspace\text{so}\enspace x({t }_{0})=\frac{1}{2}A{t}_{0}^{2}-\frac{4}{15}B{t}_{0}^{\text{5 /2}}\hfill \end{配列}[/latex]
に沿って移動する粒子の速度バツ-軸は、[latex]v(t)=A+B{t}^{-1}[/latex] に従って時間とともに変化します。ここで、あ= 2m/秒、B= 0.25 m、および [latex]1.0\,\text{s}\le t\le 8.0\,\text{s}[/latex]。粒子の加速度と位置を決定します。t= 2.0 秒およびt= 5.0 秒。 [latex]x(t=1\,\text{s})=0[/latex] と仮定します。
静止している粒子は、次のように速度が時間とともに増加しながら原点を離れます。v(t) = 3.2tMS。 5.0 秒で、粒子の速度は [16.0 – 1.5(t– 5.0)] m/s。この減少は次の時点まで続きます。t= 11.0 秒、その後粒子の速度は 7.0 m/s で一定のままです。 (a) 時間の関数としての粒子の加速度はいくらですか? (b) 粒子の位置は何ですかt= 2.0 秒、t= 7.0 秒、およびt= 12.0秒?
解決策を表示する
ａ． [latex]\begin{array}{cc} a(t)=3.2{\text{m/s}}^{2}\enspace t\le 5.0\,\text{s}\hfill \\ a(t )=1.5{\text{m/s}}^{2}\enspace 5.0\,\text{s}\le t\le 11.0\,\text{s}\hfill \\ a(t)=0{ \text{m/s}}^{2}\enspace t \gt 11.0\,\text{s}\hfill \end{array}[/latex];
b. [ラテックス]\begin{array}{cc} x(t)=\int v(t)dt+{C}_{2}=\int 3.2tdt+{C}_{2}=1.6{t}^{2 }+{C}_{2}\hfill \\ \quad t\le 5.0\,\text{s}\hfill \\ x(0)=0\Rightarrow {C}_{2}=0\enspace\ text{したがって、}\,x(2.0\,\text{s})=6.4\,\text{m}\hfill \\ x(t)=\int v(t)dt+{C}_{2} =\int [16.0-1.5(t-5.0)]dt+{C}_{2}=16t-1.5(\frac{{t}^{2}}{2}-5.0t)+{C}_{ 2}\hfill \\ 5.0\le t\le 11.0\,\text{s}\hfill \\ x(5\,\text{s})=1.6{(5.0)}^{2}=40\, \text{m}=16(5.0\,\text{s})-1.5(\frac{{5}^{2}}{2}-5.0(5.0))+{C}_{2}\hfill \\ \quad 40=98.75+{C}_{2}\Rightarrow {C}_{2}=-58.75\hfill \\ x(7.0\,\text{s})=16(7.0)-1.5( \frac{{7}^{2}}{2}-5.0(7))-58.75=69\,\text{m}\hfill \\ \quad x(t)=\int 7.0dt+{C}_ {2}=7t+{C}_{2}\hfill \\ \phantom{\rule{1.5em}{0ex}}t\ge 11.0\,\text{s}\hfill \\ x(11.0\,\ text{s})=16(11)-1.5(\frac{{11}^{2}}{2}-5.0(11))-58.75=109=7(11.0\,\text{s})+ {C}_{2}\Rightarrow {C}_{2}=32\,\text{m}\hfill \\ \quad x(t)=7t+32\,\text{m}\hfill \\ \phantom{\rule{1.5em}{0ex}}x\ge 11.0\,\text{s}\Rightarrow x(12.0\,\text{s})=7(12)+32=116\,\text {m}\hfill \end{array}[/latex]
さらなる問題
プロ野球選手のノーラン・ライアンは、時速約 160.0 km で野球を投げることができます。その平均速度では、ライアンが投げたボールが投手マウンドから 18.4 メートル離れた本塁に到達するまでにどれくらい時間がかかりましたか?これを視覚刺激に対する人間の平均反応時間である 0.25 秒と比較してください。
飛行機はシカゴを出発し、ロサンゼルスまでの 3,000 km の旅を 5 時間で行います。 2 番目の飛行機は 1 時間半後にシカゴを出発し、同時にロサンゼルスに到着します。 2 つの平面の平均速度を比較します。地球の曲率と 2 つの都市間の標高差は無視します。
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西を正の方向とします。
1 番目の平面: [latex]\overset{\text{–}}{\nu }=600\,\text{km/h}[/latex]
2 番目の平面 [latex]\overset{\text{–}}{\nu }=667.0\,\text{km/h}[/latex]
不合理な結果自転車は東に 16.0 km、次に西に 8.0 km、次に東に 8.0 km、次に西に 32.0 km、最後に東に 11.2 km を走行します。彼の平均速度が時速 24 km の場合、旅行を完了するのにどれくらい時間がかかりましたか?これは妥当な時期でしょうか？
物体の加速度は [latex]+1.2\,{\text{cm/s}}^{2}[/latex] です。 [latex]t=4.0\,\text{s}[/latex] では、速度は [latex]-3.4\,\text{cm/s}[/latex] です。 [latex]t=1.0\,\text{s}[/latex] および [latex]t=6.0\,\text{s}[/latex] での物体の速度を決定します。
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[latex]a=\frac{v-{v}_{0}}{t-{t}_{0}}[/latex], [latex]t=0,\,a=\frac{-3.4 \,\text{cm/s}-{v}_{0}}{4\,\text{s}}=1.2\,{\text{cm/s}}^{2}\Rightarrow {v} _{0}=-8.2\,\text{cm/s}[/latex] [latex]v={v}_{0}+at=-8.2+1.2\,t[/latex]; [latex]v=-7.0\,\text{cm/s}\enspace v=-1.0\,\text{cm/s}[/latex]
粒子はそれに沿って移動しますバツ- 方程式による軸 [latex]x(t)=2.0-4.0{t}^{2}[/latex] m。 [latex]t=2.0[/latex] s および [latex]t=5.0[/latex] s における速度と加速度はいくらですか?
一定の加速度で移動する粒子の速度は、[latex]t=2.0[/latex] s および [latex]-7.6\,\text{m では [latex]2.0\,\text{m/s}[/latex] です。 /s}[/latex] at [latex]t=5.2[/latex] s。粒子の加速度はいくらですか?
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[ラテックス]a=-3\,{\text{m/s}}^{2}[/ラテックス]
列車が急勾配を一定の速度で上っていると (次の図を参照)、車掌車が外れて線路に沿って自由に動き始めます。 5.0 秒後、車掌車は列車の 30 m 後方にいます。車掌車の加速度はどれくらいですか?
電子は [latex]4.0\times {10}^{5}[/latex] m/s の速度で直線運動しています。長さ 5.0 cm の領域に入り、同じ直線に沿って [latex]6.0\times {10}^{12}\,{\text{m/s}}^{2}[/latex] の加速度を受けます。 。 (a) 電子がこの領域から出てくるときの速度はいくらですか? b) 電子がその領域を横切るのにどれくらい時間がかかりますか?
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ａ．
[latex]v=8.7\times {10}^{5}\,\text{m/s}[/latex];
b. [ラテックス]t=7.8\times {10}^{-8}\,\text{s}[/latex]
救急車の運転手が患者を病院に急いで送っています。時速 72 km で走行中に、彼女は次の交差点の信号がオレンジ色に変わっていることに気づきました。信号が赤に変わる前に交差点に到着するには、50 m を 2.0 秒で移動しなければなりません。 (a) 救急車が信号が赤に変わる前に交差点に到着するためには、どのくらいの最小加速が必要ですか? (b) 救急車が交差点に到着したときの速度はどれくらいですか?
速度を落としているオートバイは、連続 2.0 km を一律にそれぞれ 80 秒と 120 秒で走行します。 2 km の走行の開始時と終了時の (a) バイクの加速度、(b) 速度を計算します。
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[ラテックス]1\,\text{km}={v}_{0}(80.0\,\text{s})+\frac{1}{2}a{(80.0)}^{2}[/ラテックス]; [latex]2\,\text{km}={v}_{0}(200.0)+\frac{1}{2}a{(200.0)}^{2}[/latex] を同時に解くと、[ latex]a=-\frac{0.1}{2400.0}{\text{km/s}}^{2}[/latex] および [latex]{v}_{0}=0.014167\,\text{km/ s}[/latex]、つまり [latex]51.0\,\text{km/h}[/latex] です。旅行終了時の速度は [latex]v=21.0\,\text{km/h}[/latex] です。
自転車に乗った人が地点 A から地点 B まで 10 分で移動します。旅行の最初の 2.0 分間、彼女は [latex]0.090\,{\text{m/s}}^{2}[/latex] の均一な加速度を維持します。その後、彼女は次の 5 分間一定の速度で移動します。次に一定速度で減速し、3.0 分後に点 B で停止します。 (a) 旅行の速度対時間のグラフをスケッチします。 (b) 最後の 3 分間の加速度はいくらですか? (c) 自転車に乗っている人はどのくらいの距離を移動しますか?
2 つの列車が同じ線路を反対方向に 30 m/s で走行しています。エンジニアは同時に、車両が衝突コース上にあることを認識し、車両間の距離が 1000 メートルになったところでブレーキをかけます。両方の列車の加速度が同じであると仮定すると、列車が衝突する寸前で停止する場合、この加速度はいくらになるでしょうか?
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[ラテックス]a=-0.9\,{\text{m/s}}^{2}[/ラテックス]
時速97.0kmの等速で走行する長さ10.0mのトラックが、時速80.0kmの等速で走行する長さ3.0mの乗用車を追い越します。トラックの前部と車の後部が同じ高さになった瞬間から、トラックの後部と車の前部が同じ高さになるまでの時間はどれくらいですか?
高速道路から少し離れたところにパトカーが隠れて待機している。スピード違反の車は秒速40メートルでパトカーに発見される。スピード違反の車がパトカーを追い越した瞬間、パトカーは停止状態から秒速4mで加速する2スピード違反の車を捕まえるために。パトカーがスピード違反の車を捕まえるのにどれくらいかかりますか?
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スピード違反の車の方程式: この車の速度は一定 (平均速度) であり、加速していないため、変位の式を [latex]{x}_{0}=0[/latex]:[latex] で使用します。 ]x={x}_{0}+\overset{\text{–}}{v}t=\overset{\text{–}}{v}t[/latex];パトカーの方程式: この車は加速しているため、[latex]{x}_{0}=0[/latex] および [latex]{v}_{0}=0[/latex] の変位の方程式を使用します。 ]、パトカーは停止状態から出発するため: [latex]x={x}_{0}+{v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac {1}{2}a{t}^{2}[/latex];これで、共通パラメータを持つ各車の運動方程式が得られ、これを消去して解を見つけることができます。この場合、[latex]t[/latex] について解きます。ステップ 1、[latex]x[/latex] の削除: [latex]x=\overset{\text{–}}{v}t=\frac{1}{2}a{t}^{2}[/ラテックス];ステップ 2、[latex]t[/latex] を解きます: [latex]t=\frac{2\overset{\text{–}}{v}}{a}[/latex]。スピードを出している車の一定速度は 40 m/s で、これが平均速度です。パトカーの加速度は4m/sです2。評価中t、パトカーがスピード違反の車に到着するまでの時間は、[latex]t=\frac{2\overset{\text{–}}{v}}{a}=\frac{2(40)}{ となります。 4}=20\,\text{s}[/latex]。
パブロはハーフマラソンを 3 m/s の速度で走っています。別のランナー、ジェイコブは同じ速度でパブロの 50 メートル後ろにいます。ジェイコブは 0.05 m/s で加速し始めます2。 (a) ジェイコブがパブロを捕まえるのにどれくらい時間がかかりますか? （ロ）ヤコブが移動する距離はどれくらいですか。 (c) ヤコブの最終速度はいくらですか?
不合理な結果ランナーは 75 m 離れたところでゴールラインに近づきます。この位置での彼女の平均速度は 8 m/s です。この時点で彼女は 0.5 m/s で減速します。2。彼女が75メートル先からゴールラインを越えるのにどれくらい時間がかかりますか?これは合理的ですか?
解決策を表示する
この加速で彼女は [latex]t=\frac{-{v}_{0}}{a}=\frac{8}{0.5}=16\,\text{s}[/ で完全に停止します。 latex] ですが、移動距離は [latex]x=8\,\text{m/s(16}\,\text{s)}-\frac{1}{2}(0.5){(16\, \text{s})}^{2}=64\,\text{m}[/latex]、これはゴールまでの距離よりも短いため、彼女はレースを完走することはできません。
飛行機は 5.0 m/s で加速します230.0秒間この間に走行距離は10.0km。飛行機の初速と終速はいくらですか?
同じ期間内に、初速度の 2 倍の速度変化を受ける物体の移動距離と、初速度の 4 倍の速度変化を受ける物体の移動距離を比較します。両方の物体の加速度は一定です。
解決策を表示する
[ラテックス]{x}_{1}=\frac{3}{2}{v}_{0}t[/ラテックス]
[ラテックス]{x}_{2}=\frac{5}{3}{x}_{1}[/ラテックス]
物体は一定の速度で東に移動しており、位置 [latex]{x}_{0}\,\text{at}\,\text{time}\,{t}_{0}=0[/ラテックス]。 (a) 後で総変位がゼロになるためには、物体はどのような加速度を持っていなければなりませんかt? (b) [latex]t\to \infty[/latex] の場合の解の物理的解釈は何ですか?
ボールは真上に投げられます。飛行途中で地面から 7.50 m の高さ 2.00 m の窓を通過し、窓を通過するのに 1.30 秒かかります。ボールの初速はどれくらいでしたか？
解決策を表示する
[latex]{v}_{0}=7.9\,\text{m/s}[/latex] ウィンドウ下部の速度。
[ラテックス]v=7.9\,\text{m/s}[/latex]
[ラテックス]{v}_{0}=14.1\,\text{m/s}[/latex]
地上300m、秒速10.0mで上昇する熱気球からコインを落とす。コインについては、(a) 到達した最大高さ、(b) 放出されてから 4.00 秒後のコインの位置と速度、(c) 地面に衝突するまでの時間を求めます。
ソフトテニスボールを1.50メートルの高さから硬い床に落とし、1.10メートルの高さまで跳ね返る。 (a) 床に衝突する直前の速度を計算します。 (b) 床から離れて上昇する直後の速度を計算します。 (c) 床との接触が 3.50 ms 続いた場合の加速度を計算します [latex](3.50\times {10}^{-3}\,\text{s})[/latex] (d) どれくらいの加速度でしたか床が絶対に硬いと仮定すると、ボールは床との衝突中に圧縮されますか?
解決策を表示する
ａ． [ラテックス]v=5.42\,\text{m/s}[/latex];
b. [ラテックス]v=4.64\,\text{m/s}[/latex];
c. [ラテックス]a=2874.28\,{\text{m/s}}^{2}[/ラテックス];
d. [ラテックス](x-{x}_{0})=5.11\times {10}^{-3}\,\text{m}[/latex]
不合理な結果。地上100メートルの雲から雨粒が落ちる。空気抵抗は無視してください。雨粒が地面に落ちるときの速度はどれくらいですか?これは妥当な数字でしょうか?
床から垂直に 1.0 m ジャンプするバスケットボール選手の滞空時間を、垂直に 0.3 m ジャンプする選手の滞空時間を比較します。
解決策を表示する
プレーヤーが静止状態から 1.0 m と 0.3 m の高さで落下したとします。
0.9秒
0.5秒
人間が、落とした物体をキャッチするために反応して手を動かすのに 0.5 秒かかるとします。 (a) 物体は地球上でどのくらいの距離まで落ちますか、ここで [latex]g=9.8\,{\text{m/s}}^{2}?[/latex] (b) 物体は地球上でどのくらいの距離まで落ちますか重力加速度が地球の1/6の月？
熱気球は地上から 3.0 m/s の一定速度で上昇します。離陸後 1 分後、気球から土嚢が誤って落下します。 (a) 土嚢が地面に到達するまでにかかる時間と、(b) 土嚢が地面に衝突するときの速度を計算します。
解決策を表示する
ａ． [latex]t=6.37\,\text{s}[/latex] を正の根とします。
b. [ラテックス]v=59.5\,\text{m/s}[/latex]
(a) 2008 年北京オリンピックの男子 100 メートル走の世界記録は、ジャマイカのウサイン ボルトによって樹立されました。ボルトは9.69秒のタイムでフィニッシュラインを「惰性で」通過した。ボルトが最大速度に達するまで 3.00 秒間加速し、レースの残りの間その速度を維持したと仮定すると、ボルトの最大速度と加速度を計算します。 (b) 同じオリンピック中に、ボルトは 200 メートル走でも 19 秒 30 秒の世界記録を樹立しました。 100 メートル走の場合と同じ仮定を使用すると、このレースでの彼の最高速度はどれくらいでしょうか?
地上 75.0 m の高さから物体が落下します。 (a) 最初の 1 秒間の移動距離を求めます。 (b) 物体が地面に衝突する最終速度を決定します。 (c) 地面に衝突する前の動作の最後の 1 秒間に移動した距離を決定します。
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ａ． [ラテックス]y=4.9\,\text{m}[/latex];
b. [ラテックス]v=38.3\,\text{m/s}[/latex];
c. [ラテックス]-33.3\,\text{m}[/ラテックス]
鋼球を 1.50 m の高さから硬い床に落とし、1.45 m の高さまで跳ね返ります。 (a) 床に衝突する直前の速度を計算します。 (b) 床から離れて上昇する直後の速度を計算します。 (c) 床との接触が 0.0800 ms 続いた場合の加速度を計算します [latex](8.00\times {10}^{-5}\,\text{s})[/latex] (d) どれくらいの加速度でしたか床が絶対に硬いと仮定すると、ボールは床との衝突中に圧縮されますか?
高さのある建物の屋上から物体が落下するh。降下最後の 1 秒で距離が下がりますh/3.建物の高さを計算します。
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[ラテックス]h=\frac{1}{2}g{t}^{2}[/ラテックス]、h= 全高と地面に落ちるまでの時間
[ラテックス]\frac{2}{3}h=\frac{1}{2}g{(t-1)}^{2}[/ラテックス]t– 1秒で2/3減少h
[ラテックス]\frac{2}{3}(\frac{1}{2}g{t}^{2})=\frac{1}{2}g{(t-1)}^{2} [/latex] または [latex]\frac{{t}^{2}}{3}=\frac{1}{2}{(t-1)}^{2}[/latex]
[ラテックス]0={t}^{2}-6t+3[/ラテックス] [ラテックス]t=\frac{6\pm\sqrt{{6}^{2}-4\cdot 3}}{2 }=3\pm\frac{\sqrt{24}}{2}[/latex]
t= 5.45 秒およびh= 145.5 メートル。他のルートは 1 秒未満です。チェックしてくださいt= 4.45 秒 [ラテックス]h=\frac{1}{2}g{t}^{2}=97.0[/ラテックス] m [ラテックス]=\frac{2}{3}(145.5)[/ラテックス]
課題に挑戦する
100 メートルのレースでは、優勝者のタイムは 11.2 秒です。 2位のタイムは11.6秒。 2 位の選手がゴールラインを通過したとき、優勝者からどれくらい離れていますか?各ランナーの速度はレース中一定であると仮定します。
に沿って移動する粒子の位置バツ-軸は、[latex]x(t)=5.0{t}^{2}-4.0{t}^{3}[/latex] m に従って時間とともに変化します。 (a) 時間の関数として粒子の速度と加速度を求めます。(b) 時間の関数として粒子の速度と加速度を求めます。t= 2.0 秒、(c) 位置が最大になる時間、(d) 速度がゼロになる時間、(e) 最大位置。
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ａ． [ラテックス]v(t)=10t-12{t}^{2}\text{m/s,}\,a(t)=10-24t\,{\text{m/s}}^{2 }[/ラテックス];
b. [ラテックス]v(2\,\text{s})=-28\,\text{m/s,}\,a(2\,\text{s})=-38{\text{m/s }}^{2}[/ラテックス]; c.位置関数の傾きがゼロであるか、速度がゼロです。考えられる解決策は 2 つあります。t= 0、つまりバツ= 0、またはt= 10.0/12.0 = 0.83 秒、次のようになります。バツ= 1.16 メートル。 2 番目の答えが正しい選択です。 d. 0.83秒 (e) 1.16m
自転車選手がレースの最後で勝利を掴むために全力疾走します。初速度は 11.5 m/s で、速度は 0.500 m/s で加速します。27.00秒間。 (a) 彼女の最終速度はどれくらいですか? (b) 自転車はこの速度でフィニッシュラインまで走り続けます。彼女が加速し始めたときにゴールまで 300 m だった場合、どのくらいの時間を節約できたでしょうか? (c) 2 位の優勝者は加速を開始した時点で 5.00 m 先行していましたが、加速できず、ゴールまで 11.8 m/s で走行しました。優勝者と次点者のゴールタイムの差は何秒でしたか?勝者がゴールラインを通過したとき、次点者はどのくらい後方にいましたか?
1967年、ニュージーランド人のバート・マンローは、ユタ州のボンネビル・ソルトフラッツでインディアンのオートバイの時速295.38kmの世界記録を樹立した。片道8.00kmのコースでした。加速率は、多くの場合、静止状態から 96.0 km/h に達するまでにかかる時間で表されます。この時間が 4.00 秒で、バートが最高速度に達するまでこの速度で加速した場合、バートがコースを完了するのにどれくらい時間がかかりましたか?
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[ラテックス]96\,\text{km/h}=26.67\,\text{m/s,}\,a=\frac{26.67\,\text{m/s}}{4.0\,\text{ s}}=6.67{\text{m/s}}^{2}[/latex]、295.38 km/h = 82.05 m/s、[latex]t=12.3\,\text{s}[/latex]最高速度まで加速するまでの時間
[latex]x=504.55\,\text{m}[/latex] 加速中に移動できる距離
[latex]7495.44\,\text{m}[/latex] 一定速度で
[latex]\frac{7495.44\,\text{m}}{82.05\,\text{m/s}}=91.35\,\text{s}[/latex] なので、合計時間は [latex]91.35\, \text{s}+12.3\,\text{s}=103.65\,\text{s}[/latex]。
FAQs
速度加速度変位の単位は？ ›
単位は [m/s]（メートル毎秒）や [km/h]（キロメートル毎時）。 たとえば 3m/s といったら1秒間当たり 3m ずつ変位が増える（移動する）という意味です。 加速度は単位時間当たりの速度の変化量です。 速度を時間で割ったものです。
変位と速度の求め方は？ ›速度とは 速度とは、対象物の単位時間あたりの変位量のこと。 平均の「速度」＝「変位量」÷「経過時間」として求めることができます。
加速度と速度の式は？ ›加速度の値は「加速度（ｍ/ｓ＾2）＝速度（ｍ/ｓ）÷時間（ｓ）」の計算式で計算できます。 物体が加速すると速度が上昇し、減速すると速度が低下します。
平均速度と変位の関係は？ ›速度＝単位時間あたりの変位
変位をその間の時間間隔 で割った量、すなわち単位時間あたりの平均の変位を「平均の速度」 といいます。
加速度 は、速度 の時間微分 である。 逆に、加速度 を時間で積分すれば、速度 が 求められる。 ここで、 は時刻 における速度である。 質点が時間によらず一定の速度で直線上を運動すると き、等速直線運動という。
1秒間にどのくらい速度が変化したかという量？ ›「加速度」とは、単位時間あたりの速度の変化率のことで、１秒間にどれだけ速度が増すかを表します。
加速度と速さの違いは何ですか？ ›加速度と速度の違い 物体が運動していく様子を時間、位置、速度、加速度で表現したものが運動の状態だ。 その中で、「物体が移動した距離(位置の違い)」を「移動に要した時間」で割った量が速度だ。 そして、速度が変化していく度合いが加速度である。
速度の求め方は？ ›速さ＝道のり÷時間 単位時間のちがいによって 時速＝１時間当たりに進む道のりで表した速さ 分速＝１分間当たりに進む道のりで表した速さ 秒速＝１秒間当たりに進む道のりで表した速さ があります。
速度と変位の違いは何ですか？ ›そして、その変位にどれだけ時間がかかったかを表すものが「速度」で、この「速度」もベクトル量ということになります。 つまり、どこからどの方向のどこまで、直線距離で位置がどれだけ変化したかが「変位」、それにどれだけ時間がかかったかを「速度」というわけです。
加速度の大きさの求め方は？ ›加速度は、速度[m/s]を時間[s]で割っているので、単位が [m/s2] となることもおさえておきましょう。
加速度 何によって変わる？ ›
（重力の性質 その１） 北極や南極に近づくほど重力加速度が大きくなり、赤道に近づく ほど重力加速度が小さくなります。 （重力の性質 その２） 標高が高いところほど重力加速度が小さくなります。 （重力の性質 その3） 地下に重い物体があると重力加速度が大きくなります。 重力は、引力と遠心力の合力です。
物理加速度の大きさの公式は？ ›物体に力が作用するとき、物体には力（合力）の向きに加速度が生じる。 加速度の大きさは力（合力）に比例し、物体の質量 m に反比例する。 第１法則と、第２法則の内容は、ma = F という式（ニュートンの運動方程式）にすべて含まれる。
加速度の定義の式は？ ›加速度 a とは「速度の時間に対する変化の割合」のことです。
つまり、「速さがどれだけ早くなるか」ということです。 よって、 \displaystyle a = \frac{dv}{dt} で計算することができます。
「加速度」とは単位時間あたりの速度の変化率のことです。 従って、上図のように速度の変化がない状況では加速度は”0”となります。 速度が遅くても、速度に変化があれば加速度が発生します。 SI単位系では加速度はm／s2で表されます。
平均速度の求め方は？ ›平均の速さは移動した距離を移動にかかった時間で割ったものである。 車が 150km を 3 時間で走れば平均の速さは 150(km) 3(h) = 50(km/h) (= 平均時速 50km) である。
速度と距離の公式は？ ›速さ×時間＝距離 を使おう
1Gの加速度は？ ›Gとは加速度の大きさを表す方法で、1Gが地球の重力加速度（9.8m/s²）にあたります。
速度と時間と距離の関係は？ ›「時速＝距離÷時間」は、かけ算に直すと「距離＝速さ×時間」になります。
30Mbps どのくらい？ ›| 速度 | 詳細 |
|---|---|
| 30Mbps以上 | とても快適に使える |
| 10～30Mbps | 快適に使える |
| 5～10Mbps | まあまあ快適だが、使い方によっては満足できないかも |
| 1～5Mbps | PCだと動画が止まる時が出てくる速度 |
インターネットの下り速度は、80Mbps〜100Mbps前後です。 ネットや動画を楽しむ程度なら十分な速さですが、オンラインゲームは難しいでしょう。 またping値もおおよそ40msで、回線速度の目安をギリギリ超えている速さでした。 普段あまりインターネットを使わない方なら、問題なく使えるレベルです。
変位と移動距離の違いは何ですか？ ›
距離が「単純に何m動いたか」を表すのに対し，変位とは最初の位置からのずれなので，どっちの方向にずれたのかという情報も含めなければなりません！！
ウマ娘 速度 加速力 どっち？ ›速度系スキルに比べて、加速系スキルは全体的にスキルの効果時間が長くなっています。 これは加速系スキルのほうが優秀！という意味ではなく、加速系スキルの発動中に速度系スキルが発動すれば最高の効果が得られる、ということを意味しています。
等速直線運動と等加速度運動の違いは何ですか？ ›ここで違いを理解しておきましょうね。 『等速直線運動』は、直線上を同じ向きに同じ速度で進む運動です。 『等加速度直線運動』は、直線上を同じ向きに同じだけ加速しながら進む運動なんですね。
速さm/sの求め方は？ ›等速直線運動の速度は(位置x)÷(時間t) 物体が等速直線運動をしているとき、その物体の速度v[m/s]は (位置x[m])÷(時間t[s]) で求められましたね。
速さを求める単位は？ ›速さは，1 秒あたりとか，1 時間あたりに 物体が移動する距離で表す。 単位： m/秒（メートル毎秒），km/時（キロメートル毎時）など。
4キロを20分で走る速さは時速何キロか？ ›残りの4kmを20分で進むことになるので、速さは4000÷20＝分速200m。 帰りの速さは12÷2.5＝時速4.8km。 全体のきょりは28km。
変位と速度と加速度の関係は？ ›変位を微分すると速度になり、速度を微分すると加速度になります。 これは高校の数学で習う微分積分の関係と同じであるため、加速度を積分すると速度になり、速度を積分すると変位になります。
変位の表し方は？ ›Δ x \Delta x Δx という記号を使って変位を表します。
変位・速度・加速度の共通点は？ ›変位・速度・加速度のいずれもがいわゆる物理量です。 物理量とは物理の計算をする上での一番の基本となる量なのですが、すべての物理量はベクトルとスカラーに分けることができます。
加速度m/s2の求め方は？ ›このことから、加速度＝（速度の変化量[差]）÷（かかった時間）で求めることができます。
加速度で何がわかる？ ›
加速度とは、単位時間当たりの速度の変化率を示します。 物体の速度が変化するときには加速度がかかります。 例えば、時速40Km/hへ5秒で到達する場合と1秒で到達する場合では加速度が異なります。
運動方程式と加速度の関係は？ ›第12回 力と質量と加速度の関係 ～運動方程式～
また、物体に同じ大きさの力がはたらくとき、物体に生じる加速度は、物体の質量に反比例する。 この関係を式で表したのが運動方程式、ｍ（質量）×ａ（加速度）＝Ｆ（加えた力）だ。 Ｆの単位はＮ（ニュートン）で、質量１ｋｇの物体に１ｍ毎秒の加速度を生じる力の大きさが１Ｎである。
１Ｇ = 980 cm/s2 = 980 gal (1 gal = 1 cm/s2）の関係が有ります。 目的が設置機械の床震動の影響では上記のように振動は周波数が重要なファクターになるため、周波数分析が実施されています。
速度変化量の求め方は？ ›出発時刻をt1、出発地点での速度をv1、到着時刻をt2、到着地点での速度をv2としますよ。 出発地点から到着地までの速度の変化量Δv＝v2－v1、かかった時間Δt＝t2－t1ですね。
加速度 何で決まる？ ›また加速度は「速さの変化」なので「どのような大きさの力がはたらいているか」で決まります。
物体の加速度の大きさは？ ›『加速度の大きさは，力の大きさに比例し，質量に反比例して， m→a=→F m a → = F → が成り立つ．』 m→a=→F m a → = F → のことを運動方程式という． 加速度が質量に反比例する理由は，物体の慣性による．
加速度の単位の読み方は？ ›メートル毎秒毎秒（メートルまいびょうまいびょう、記号 : m/s2、m/秒2）は、国際単位系 (SI) における加速度の単位である。
物理基礎の加速度とは？ ›止まっている車が走り出し、次第にスピードを上げていく場合のように、速度が変化する運動を加速度運動という。 このとき、単位時間あたりの速度変化が加速度だ。 単位は「メートル毎秒毎秒」。
加速度を表す単位は？ ›SI単位系では加速度はm／s2で表されます。 これは1秒間に速度m／sがどれだけ変化するかを表しています。
速度 vは何の略？ ›〔一般に〕速さ、（走行）速度◆【略】vel.
変位の単位は？ ›
変位とは、位置の変化（揺れの向きと大きさ）を意味し、単位は「ｍ(メートル)」で表します。
速度変位とは？ ›そして、その変位にどれだけ時間がかかったかを表すものが「速度」で、この「速度」もベクトル量ということになります。 つまり、どこからどの方向のどこまで、直線距離で位置がどれだけ変化したかが「変位」、それにどれだけ時間がかかったかを「速度」というわけです。
加速度aの求め方は？ ›加速度は1秒間に増えた速度を表します。 今回経過した時間は2.0[s]間ですので、増えた速度4.0[m/s]÷2.0[s]で、加速度a=2.0[m/s2]と求めることができますね。 加速度は、速度[m/s]を時間[s]で割っているので、単位が [m/s2] となることもおさえておきましょう。
加速度 1G どのくらい？ ›Gとは加速度の大きさを表す方法で、1Gが地球の重力加速度（9.8m/s²）にあたります。
加速度の計算方法は？ ›加速度 a とは「速度の時間に対する変化の割合」のことです。
つまり、「速さがどれだけ早くなるか」ということです。 よって、 \displaystyle a = \frac{dv}{dt} で計算することができます。
速さは（距離）÷（時間）、速度は速さに方向を含めたもの 、というポイントをしっかりおさえておきましょう。
速度の大きさの求め方は？ ›速さは、（距離）÷（時間）で求めよう
速さのポイントを覚えていますか？ 速さを求めるときの計算は、（距離）÷（時間） でした。 速さは方向と関係なく 大きさ だけ表すのでしたね。
定義 古典力学における力（英語: force）の、最も初等的な定義は質量と加速度の積を力とするものである。 ここで F は物体に働く力、m は物体の質量、a は物体の加速度を表す。 力は向きと大きさによって特徴づけられ、一般にはベクトル量として表現される。
速度の単位は？ ›速度の単位 国際単位系(SI)における、一貫性 (単位系)のある単位は、メートル毎秒(m/s)である。 国際単位系国際文書においては、組立量は、「速さ、速度」（英語版では、speed, velocity）としている。
変位量とは何ですか？ ›活断層のずれによる相対的な移動の量である． 変位量は上下（鉛直）成分，水平方向成分に区分され，さらに水平方向成分は横ずれ（走向方向）成分と傾斜方向（走向と直交方向）成分に区分される． それら３成分のベクトル和が実変位量（ネット変位量）である．
加速度と速度の違いは何ですか？ ›
加速度と速度の違い 物体が運動していく様子を時間、位置、速度、加速度で表現したものが運動の状態だ。 その中で、「物体が移動した距離(位置の違い)」を「移動に要した時間」で割った量が速度だ。 そして、速度が変化していく度合いが加速度である。
単位時間当たりの速度の変化は？ ›この単位時間あたりの速度の変化が「加速度」です。 また、このように速度が変化する運動のことを「加速度運動」といいます。